DESIGUALDADES - INECUACIONES
En estas expresiones se utilizan signos como <, ≤, > , ≥. Todas ellas son desigualdades a las que llamamos inecuaciones.
La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta.
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica. La solución de la inecuación se expresa mediante:
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8
x < 4
(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8x ≤ 4
(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8x ≥ 4
[4, ∞)
Inecuaciones de segundo grado
Consideremos la inecuación: x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1. Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
Esto es lo mismo que factorizar x2 − 6x + 8 > 0 (x - 4) (x - 2)
2 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.
1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
x − 2 = 0 x = 2
x − 4 = 0 x = 4
2. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3.Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
4. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que
tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
S = (-∞, 2] (4, ∞)
